Изоморфизм (от греческих слов i soz ? равный и m o rjh ? образ, вид, форма) ? это одно из основных понятий современной математики, которое исторически возникло сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим системам, как группы, кольца, поля и др., но оказавшееся принципиально существенным для общего понимания строения и структуры самых разных систем.

Пусть даны две системы объектов S и S / , причем в первой системе S определены отношения Fk (x1, x2, ...), k=1, 2, ..., n, а во второй системе S / ? определены отношения F /k (x /1, x /2, ...), k=1, 2, ..., n. Системы S и S / с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x /=j (x), x =y (x /), где x ? произвольный элемент системы S, а x / ? произвольный элемент системы S /, что из наличия Fk (x1, x2, ...) вытекает F /k (x /1, x /2, ...), и наоборот. Отображение j называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S /, а обратное ему отображение y ? изоморфизмом системы S /, на систему S. Факт изоморфности систем S и S / обозначается следующим образом: S@ S /.

Термин изоморфизм был введён в середине XIX века; окончательно современные представления утвердились с 1918 года благодаря работам немецкой ученой Эмми (Амали) Нётер (Noether Amalie Emmy, родилась 23.3.1882 в Эрлангене, умерла 14.4.1935 в Брин-Море, США).

Первоначально понятие изоморфизма возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.

Существование этого свойства впервые подметил ещё в начале XVII века великий французский философ и математик Рене Декарт (Descartes Ren, родился 31.3.1596, в Лаэ, Турень - умер 11.2.1650, в Стокгольме, автор, среди прочего, декартовой системы координат и фразы "я мыслю, следовательно, я существую").

Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией всегда всего лишь с точностью до изоморфизма: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима к другой, изоморфной ей. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много интерпретаций или моделей.

Автоморфизм (от греческих слов a u toz ? сам и m o rjh ) ? изоморфизм некоторой системы объектов на себя.

Все автоморфизмы алгебраической системы S образуют группу относительно умножения отображений. Эта группа обозначается Aut S.

Например, всякое невырожденное линейное преобразование векторного пространства V является автоморфизмом этого пространства. При этом Aut V ? подгруппа в полугруппе всех (т.е. в том числе вырожденных) линейных преобразований пространства V.