Будем рассматривать ориентированные графы G = , дугам которых приписаны веса. Это означает, что каждой дуге ОE поставлено в соответствие некоторое вещественное число a (u, v), называемое весом данной дуги.

Полагаем, кроме того, a (u, v) = ? , если u -a v.

(Отметим, что если в произвольном графе мы примем вес каждой дуги равным единице, то мы получим обычное определение длины пути как числа дуг; длина пути равна 0 при p = 0).

Нас будет интересовать нахождение кратчайшего пути между фиксированными вершинами s, t ОV. Длину такого кратчайшего пути мы будем обозначать d (s, t) и называть расстоянием от s до t (расстояние, определенное таким образом, может быть отрицательным). Если не существует ни одного пути из s в t, то полагаем d (s, t) = ? . Если каждый контур нашего графа имеет положительную длину, то кратчайший путь будет всегда элементарным путем, т.е. в последовательности v1,..., vp не будет повторов.

С другой стороны, если в графе существует контур отрицательной длины, то расстояние между некоторыми парами вершин становится неопределенным, потому что, обходя этот контур достаточное число раз, мы можем показать путь между этими вершинами с длиной, меньшей произвольного вещественного числа. В таком случае, можно было бы говорить о длине кратчайшего элементарного пути, однако задача, поставленная таким образом, вероятно будет значительно более сложной, так как, в частности, она содержит в себе задачу существования гамильтонова пути.

Можно дать много практических интерпретаций задачи о кратчайших путях. Например, вершины могут соответствовать городам, а каждая дуга - некоторому пути, длина которого представлена весом дуги. Мы ищем затем кратчайшие пути между городами. Вес дуги также может соответствовать стоимости (или времени) передачи информации между вершинами. В таком случае мы ищем самый дешевый (или самый скорый) путь передачи информации. Еще одну ситуацию получаем, когда вес дуги равен вероятности p(u, v) безаварийной работы канала передачи информации. Если предположить, что аварии каналов не зависят друг от друга, то вероятность исправности пути передачи информации равна произведению вероятностей составляющих его дуг. Задачу нахождения наиболее надежного пути легко можно свести к задаче о кратчайшем пути, заменяя веса p(u, v) на a (u, v) = - log p(u, v).

Сначала рассмотрим алгоритмы нахождения расстояния между вершинами, а не самих путей. Однако, зная расстояние, мы можем при условии положительной длины всех контуров легко определить кратчайшие пути. Для этого достаточно отметить, что для произвольных s, t О V (s t) существует вершина v, такая что

d (s, t) = d (s, v) + a (v, t).

Действительно, таким свойством обладает предпоследняя вершина произвольного кратчайшего пути из s в t.