Тело есть такая система (A, + , Ч ), что система (A, +) является абелевой группой, а система (A? , Ч ), где A? получается из A удалением нулевого элемента (т.е. нейтрального элемента абелевой группы), является группой и операция Ч дистрибутивна относительно операции + . Если система (A? , Ч ) также является абелевой группой, то тело называют коммутативным (или полем).

Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых элементов a, bО A, где a ? 0.

Тело служит обобщением системы (Q, + , Ч ) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается.

Теорема Веддербёрна. Всякое конечное тело коммутативно.

Квазитело есть такая система (A, + , Ч ), что система (A, +) является абелевой группой, а система (A, Ч ) - квазигруппоёOс единичным элементом (т.е. лупой), причем имеет место левая дистрибутивность, т.е. для любых трех элементов a, b, c О A выполняется равенство a (b + c) = (a b) + (a c). Если имеет место также и правая дистрибутивность, то квазитело называется дистрибутивным.

Если операция Ч ассоциативна, то квазитело называется ассоциативным.

Теорема. Дистрибутивное и ассоциативное квазитело является телом.

Иерархия систем с двумя бинарными операциями изображена на рисунке. Обозначения: G - кольцо, Q - квазиполе, D - дистрибутивное квазиполе, A - ассоциативное квазиполе, T - тело, K - коммутативное тело.